重積分を用いると、空間中の曲面積や体積を求めることができます。具体的な計算例として、楕円体の体積の公式を導出します。空間積分では、ある面における切り口を積分することになります。 定積分は「関数 \(f(x)\) を \(a\) から \(b\) の範囲で積分し、 値の差（面積）を求めること 」がゴール という違いがあります。 積分という学問の美しいところは、関数がどんな形をしていても、それが積分可能な式で表すことができるのであれば、曲線が積分範囲の中でアップダウンがあったとしても、面積を始点と終点の値だけで求めることができてしまうというところだと思います。 なぜ積分を面積と呼ぶのかというと…。積分は微小長方形の縦×横の和の極限であり、長方形の積分は縦×横なので、この命名は、小学校で習った「長方形の面積＝縦×横、面積の和は和の面積」の拡張として、十分に妥当と言えると思います。 球の体積の公式の【証明】 球の体積の公式は、なぜ成り立つのでしょうか？ 実は、積分の知識を使うと球の体積の公式を簡単に導くことができます。 興味のある方は、以下の証明に一度目を通してみてくだ … 定積分するとなぜ面積が求められるのか . 錐体の体積はなぜ1/3? またまた「小中学生にもわかる」シリーズだが、 今回は「錐体の体積は底面積×高さ÷3」 という公式についてである。 この公式は小学校高学年で教わることになっているが、 子供に このページは、難しい計算式などは一切出てきません。 ここでは小中学生にもわかるように 微分積分って何なのか？？ どんなことに利用されているのか？？ なぜ勉強するのか？？ など具体的な例を挙げて 体積V volume ネイピア数e Euler （exponential は違いますよね？） 虚数単位i imaginary number 微小量Δ differntial 微分記号d 同上 偏微分記号∂ 同上 数列の和Σ sum, summation 積分記号∫ 同上（sを変形） 積分定数C constant---質量m mass 時刻（時間）t time さて、微分積分の話も佳境ですね！！ 前回は微分と積分との間のふか～い関係、つまり、 「微分と積分は逆の関係にある」 ということについて説明しました。 この関係が発見されたことで、様々な領域の面積や体積を求めることが可能になったんでしたね！ なぜ積分で面積を計算するのか？ 積分を使って面積の求め方を説明しました。例題にした「四角形の面積」では、積分のメリットを感じられなかったと思います。 積分を使った面積の算定で、最大のメリットは、 任意断面の面積が計算できる ことです。 積分を学習しないとその疑問が解けません。 回転体の体積にはまだまだ応用があります。興味ある方はもっと深く学習してみて下さい。これで，積分を終わることにします。 まずゴールを設定しましょう。 座標が から までの部分で と 軸によって囲まれた部分の面積 は次の式により求めることができます。 ではゴールを目指して証明を していきます。 次の図について考えます。 座標が から までの部分と、 から （本例で� なぜ積分で面積が求まるのか？ 積分の計算と面積 例えば $\displaystyle \int_1^3 (x^2-3x+4) dx$ は、下図の黄色い部分の面積を求めることを意味します。 ここではなぜ球の体積と表面積がこのようになるのかを証明します。積分を使えば簡単に証明できますが、ここでは積分なしで証明をこころみます。 表面積の証明 半径 の球に内接する円柱の側面積と球の表面積が等しいことを証明します。そうすれば、 なぜ積分すると面積や体積が計算できるのかイメージが良く分からない方もいるかと思います。ここでは、積分の理解を深めるためにために点⇒線⇒面⇒立体というイメージを使って説明していきたいと思います。最終的には面積や体積を求める例題で理解度を確認して頂ければと思います。
積分が発見以前の体積や面積の求め方の基本は区分求積法です。 これは [math]y=f(x)[/math] のグラフと [math]x[/math] 軸が囲む部分の面積の求め方として高校数学でも解説されていると思います。 これら2つは途中まで同じ計算を行いますが、計算のゴールが変わってきます。 不定積分は「微分したら \(f(x)\) になるような 関数を求めること 」がゴール.